Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2

2

，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）证明：CD⊥平面SAE；
（3）侧棱SB上是否存在F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先确定四棱锥S-ABCD的高SA，然后求出底面面积和SA，即可求出体积；
（2）证明直线CD垂直平面SAE内的两条相交直线SA、AE，即可证明CD⊥平面SAE；
（3）F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE，只需证明CF∥NE，NE?平面SAE，CF不属于平面SAE，即可．

解答：解：（1）∵SA=AB=ADF=2，SB=SD=2

2

，
则有SB²=SA²+AB²，SD²=SA²+AD²，
∴SA⊥AB，SA⊥AD又AD∩AB=A
∴SA⊥底面ABCD，（2分）
VS-ABCD=

1

3

S四边形ABCD×SA=

1

3

×2×2×sin60°×2=

4 3

3

（4分）
（2）证明：∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AC=AD=2，
∴△ACD为正三角形，又E为CD的中点，∴CD⊥AE（6分）
∵SA⊥底面ABCD
∴SA⊥CD由CD⊥AE，SA⊥CD，SA∩AE=A，
∴CD⊥平面SAE（8分）
（3）F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE．（10分）
证法一：设N为SA的中点，连NF，NE，FC，则NF是△SAB的中位线，
∴NF∥AB且NF=

1

2

AB，又CE∥AB且CE═

1

2

AB，
∴CE∥NF且CE=NF，∴四边形CENF为平行四边形，
∴CF∥NE，∵NE?平面SAE，CF?平面SAE，
∴CF∥平面SAE．（12分）
证法二：设M为AB的中点，连MF，MC，FC，则MF是△SAB的中位线，
∴MF∥SA，∵SA?平面SAE，MF不属于平面SAE，
∴MF∥平面SAE．
同理，由CM∥AE，得CM∥平面SAE．
又MF∩MC=M，∴平面FMC∥平面SAE，
又∵CF?平面FMC，∴CF∥平面SAE．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．