Question

17、（1）比5000小且没有重复数字的自然数有多少个？
（2）由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数，
①其中奇数位置上的数字只能是奇数，，问有多少个这样的5位数？
②其中奇数只能在奇数位置上，问又有多少个这样的5位数？

Answer 1

分析：（1）本题是一个分类计数问题．4位数有4A₉³，3位数有9A₉²，2位数有9×9个，1位数有10个，利用加法原理得到结果．
（2）①由题意知本题是一个分步计数问题，在奇数位上排列3个奇数有A₅³，再在剩余两位上排其他6个数中的2个有A₆²．
②在两个偶数位上排4个偶数中的2个有A₄²，再在剩余三位上排其他7个数中的7个有A₇³，根据乘法原理得到结果．

解答：解：（1）由题意知 本题是一个分类计数问题．
4位数有：4A₉³=2016个
3位数有：9A₉²=648个
2位数有：9×9=81个
1位数有：10个
所以比5000小且没有重复数字的自然数有10+81+648+2016=2755个
（2）由题意知本题是一个分步计数问题，
①在奇数位上排列3个奇数，有A₅³
再在剩余两位上排其他6个数中的2个有A₆²
共A₃⁵×A₂⁶=1800
②在两个偶数位上排4个偶数中的2个有A₄²
再在剩余三位上排其他7个数中的7个有A₇³
A₂⁴×A₃⁷=2520

点评：本题考查计数原理，包括加法和乘法原理，本题解题的关键是分清题目中所给的条件，是分类还是分步，注意做到不重不漏．