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设函数f(x)xxlnx数列{an}满足0a11an1f(an).求证:

(1)函数f(x)在区间(01)是增函数;

(2)anan11.

 

1)见解析(2)见解析

【解析】(1)f(x)xxlnxf(x)=-lnxx∈(01)f(x)=-lnx0故函数f(x)在区间(01)上是增函数.

(2)(用数学归纳法)①n10a11a1lna10a2f(a1)a1a1lna1a1.

由函数f(x)在区间(01)是增函数f(1)1f(x)在区间(01)是增函数a2f(a1)a1a1lna1f(1)1a1a21成立.

假设当nk(k∈N*)akak11成立

0a1akak11

那么当nk1f(x)在区间(01]上是增函数0a1akak11

f(ak)f(ak1)f(1)an1f(an)ak1f(ak)ak2f(ak1)ak1ak21也就是说当nk1anan11也成立.

①②可得对任意的正整数nanan11恒成立.

 

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