设函数f(x)=x-xlnx,数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).求证:
(1)函数f(x)在区间(0,1)是增函数;
(2)an<an+1<1.
(1)见解析(2)见解析
【解析】(1)f(x)=x-xlnx,f′(x)=-lnx,当x∈(0,1)时,f′(x)=-lnx>0,故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数.
(2)(用数学归纳法)①当n=1时,0<a1<1,a1lna1<0,a2=f(a1)=a1-a1lna1>a1.
由函数f(x)在区间(0,1)是增函数,且f(1)=1,得f(x)在区间(0,1)是增函数,a2=f(a1)=a1-a1lna1<f(1)=1,即a1<a2<1成立.
②假设当n=k(k∈N*)时,ak<ak+1<1成立,
即0<a1≤ak≤ak+1<1,
那么当n=k+1时,由f(x)在区间(0,1]上是增函数,得0<a1≤ak≤ak+1<1,
得f(ak)<f(ak+1)<f(1),而an+1=f(an),则ak+1=f(ak),ak+2=f(ak+1),即ak+1<ak+2<1,也就是说当n=k+1时,an<an+1<1也成立.
由①②可得对任意的正整数n,an<an+1<1恒成立.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第三章第4课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知α、β均为锐角,且sinα=,tan(α-β)=-.
(1) 求sin(α-β)的值;
(2) 求cosβ的值.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第三章第2课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知cos(π+α)=-,且角α在第四象限,计算:
(1)sin(2π-α);
(2)(n∈Z).
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第三章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P,则α=__________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第三章第1课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知角α终边上一点P(-,y),且sinα=y,求cosα和tanα的值.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第七章第3课时练习卷(解析版) 题型:填空题
用数学归纳法证明1+<n,其中n>1且n∈N*,在验证n=2时,式子的左边等于________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第七章第3课时练习卷(解析版) 题型:填空题
设f(n)=1+(n∈N*),则f(k+1)-f(k)=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第七章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第一章第1课时练习卷(解析版) 题型:解答题
已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B=.
(1) 当a=2时,求A∩B;
(2) 求使B真包含于A的实数a的取值范围.
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