Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosB=（2a﹣b）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，△ABC的周长为2 +2，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，ccosB=（2a﹣b）cosC，

∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，

即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，

∴sin（B+C）=2sinAcosC，

∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，

∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1﹣2cosC）=0，可得cosC= ．

又∵C是三角形的内角，

∴C=

（2）解：∵C= ，a+b+c=2 +2，c=2，可得：a+b=2 ，

∴由余弦定理可得：22=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=12﹣3ab，解得：ab= ，

∴S△ABC= absinC= × × =

【解析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）﹣2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC= ，可得角C的大小；（2）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:才能正确解答此题．