Question

（2013•哈尔滨一模）已知函数 f（x）=lnx，g（x）=e^x
（1）若函数h（x）=f（x）-

x+1

x-1

，求函数h（x）的单调区间；
（2）设直线l为函数f（x） 的图象上的一点 A（x₀，f（x₀））处的切线，证明：在区间（0，+∞） 上存在唯一的x₀，使得直线l 与曲线y=g（x） 相切．

Answer 1

分析：（1）求出函数h（x）的导函数，由导函数的符号直接判断函数h（x）的单调性；
（2）求出函数f（x）和g（x）的导函数，根据函数特点分别在两函数图象上找到点(e

n

e

，

n

e

)和点(-

n

e

，

1

e n e

)，求出两个函数图象分别在点(e

n

e

，

n

e

)和点(-

n

e

，

1

e n e

)处的切线方程，由两切线的截距相等能够说明在区间
（0，+∞） 上存在唯一的x₀，使得两切线为同一直线，则问题得证．

解答：解：（1）h（x）=f（x）-

x+1

x-1

=lnx-

x+1

x-1

，定义域：{x|x＞0，且x≠1}．
h′(x)=

1

x

-

(x-1)-(x+1)

(x-1)2

=

1

x

+

2

(x-1)2

=

(x-1)2+2x

x(x-1)2

=

x2+1

x(x-1)2

．
由于x＞0且x≠1，故其在区间（0，1），（1，+∞）内，恒有h′（x）＞0，
所以函数h（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）；
（2）由f（x）=lnx，所以f′(x)=

1

x

，当x=e

n

e

（n＞0）时，f′(e

n

e

)=

1

e n e

，
故y=f（x）上存在一点(e

n

e

，

n

e

)，过该点的切线方程为
y=

1

e n e

(x-e

n

e

)+

n

e

=

1

e n e

x+

n-e

e

①
g（x）=e^x，g′（x）=e^x，当x=-

n

e

时，g′(-

n

e

)=e-

n

e

=

1

e n e

，
故过y=g（x）上的点(-

n

e

，

1

e n e

)的切线方程为
y=

1

e n e

(x+

n

e

)+

1

e n e

=

1

e n e

x+

1

e n e

•

n+e

e

②
两条切线①和②的斜率相同，只要它们在y轴上的截距相等，它们就是同一条切线，为此令：

n-e

e

=

1

e n e

•

n+e

e

，得n-e=

1

e n e

(n+e)，即e

n

e

=

n+e

n-e

③
由于③的左边是关于n的增函数；而其右边，当n≥3以后，是一个正的假分数，因此是关于n的减函数，
故在区间[3，+∞）内必存在一个实数n，使得③式成立．
这就证明了“在区间（0，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切”．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答的关键是能够在两个曲线上找到符合题意的点，属中高档题．