Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）求f（x）+f（1﹣x）的值；
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}满足bn=2nan ， Sn是数列{bn}的前n项和，是否存在正实数k，使不等式knSn＞3bn对于一切的n∈N*恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，

∴ =

（2）解 ①

∴ ②

由（1），知f（x）+f（1﹣x）=1，

∴①+②，得2an=（n+1），

∴

（3）解：因为 ，

∴ ①

2Sn=221+322+423+…+n2n﹣1+（n+1）2n，②

①﹣②得，

即 ，

要使得不等式knSn＞3bn恒成立，

即2kn2＞3（n+1）对于一切的n∈N*恒成立，

即 对一切的n∈N*恒成立，

令 ，

因为 在n∈N*是单调递增的，

∴ 的最小值为2+ = ，

∴ ，

∴k＞3

【解析】（1）由函数f（x）= ，代入化简，可得f（x）+f（1﹣x）=1，（2）根据（1）中结论，利用倒序相加法，可得 ；（3）根据（2）中结论，利用错位相减法，可得Sn的表达式，进而再由孤立参数法，可得k的取值范围；
【考点精析】本题主要考查了函数的值和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．