Question

16．数列{a_n}：3a_n+2-5a_n+1+2a_n=0（n≥0，n∈N^*），a₁=a，a₂=b，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对3a_n+2-5a_n+1+2a_n=0（n≥0，n∈N^*）变形可知a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n），进而可知数列{a_n+1-a_n}是首项为b-a、公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，从而a_n+1-a_n=（b-a）•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，累加计算即得结论．

解答 解：∵3a_n+2-5a_n+1+2a_n=0（n≥0，n∈N^*），
∴a_n+2-a_n+1=$\frac{2}{3}$（a_n+1-a_n），
又∵a₂-a₁=b-a，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为b-a、公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，
∴a_n+1-a_n=（b-a）•$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴a_n-a_n-1=（b-a）•$（\frac{2}{3}）^{n-2}$，a_n-1-a_n-2=（b-a）•$（\frac{2}{3}）^{n-3}$，…，a₂-a₁=b-a，
累加得：a_n-a₁=（b-a）•$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$=3（b-a）[1-$（\frac{2}{3}）^{n-1}$]，
∴a_n=a+3（b-a）[1-$（\frac{2}{3}）^{n-1}$]．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．