在下列由正数排成的数表中.每行上的数从左到右都成等比数列.并且所有公比都等于q.每列上的数从上到下都成等差数列．表示位于第行第列的数.其中..． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (Ⅰ) 求的值, (Ⅱ) 求的计算公式, (Ⅲ)设数列{bn}满足bn=ann.{bn}的前项和为.试比较与Tn= ( n∈N*) � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列．表示位于第行第列的数，其中，，．

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（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的计算公式；

（Ⅲ）设数列｛b_n｝满足b_n=a_nn，｛b_n｝的前项和为，试比较与T_n= ( n∈N*) 的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）设第4列公差为，则．

故，于是．

由于，所以，故．

（Ⅱ）在第4列中，．

由于第行成等比数列，且公比，

所以，．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知．即b_n=．

所以.

即，

故．

两式相减，得

，

所以．

设f(x)=2-- ( x >0)，

即f(x)=2--=2-=2-(2+ x)2^-x.

因为f ′(x)= -[2^-x+(2+ x)2^-x(-1)ln2]= 2^-x[(2+ x)ln2-1]

=2^-x[ln2^{2+ x}- lne]=2^-xln，

且当x>0时，x+2>2. 所以2^{2+ x}>2²= 4.

于是>>1.

所以ln>0.

又2^-x>0，

所以在(0，+∞)上f ′(x) =2^-xln>0.

因此函数f(x)=2--在(0，+∞)单调递增.

所以 ( n∈N*)是递增数列.

同理设g(x)=( x >0)，

因为g′(x)=?= -<0 ( x >0)，

故g(x)=在(0，+∞)单调递减.

所以T_n=( n∈N*)是递减数列.

容易计算S₁=f(1)=，S₂=f(2)=1，S₃=f(3)=1，S₄=f(4)=1，

T₁= g(1)=1，T₂= g(2)=1，T₃= g(3)=1，T₄= g(4)=1，

显然S₁< T₁，S₂< T₂，S₃< T₃，S₄> T₄，

所以当n≤3时，<T_n；当n>3时，>T_n.

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