Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆m的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F2(

2

，0)，其短轴上的一个端点到F₂距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2

2

，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l₁，l₂的斜率之积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接根据条件求出a=

3

，半焦距c=

2

，得到椭圆方程，进而根据定义求出其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）先设出直线方程，与椭圆方程联立，根据直线l与椭圆C只有一个公共点得到k，m之间的关系；再结合l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2

2

，即可求m的值；
（Ⅲ）设出过点Q（x₀，y₀），与椭圆只有一个公共点的直线方程，联立直线方程与椭圆方程根据交点只有一个，得到关于k与点Q坐标之间的等式，最后再结合Q在伴椭圆上即可的出结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：a=

3

，半焦距c=

2

则b=1椭圆C方程为

x2

3

+y2=1
“伴随圆”方程为x²+y²=4…（4分）
（Ⅱ）则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，
则

y=kx+m x2 3 +y2=1

整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0
所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²①…（6分）
又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2

2

，
则有2

22-( |m| k2+1 )2

=2

2

化简得m²=2（k²+1）②…（8分）
联立①②解得，k²=1，m²=4，
所以k=±1，m=-2（∵m＜0），则P（0，-2）…（10分）
（Ⅲ）当l₁，l₂都有斜率时，设点Q（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
设经过点Q（x₀，y₀），与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x₀）+y₀，
由

y=kx+(y0-kx0) x2 3 +y2=1

，消去y得到x²+3[kx+（y₀-kx₀）]²-3=0…（12分）
即（1+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（y₀-kx₀）²-3=0，
△=[6k（y₀-kx₀）]²-4•（1+3k²）[3（y₀-kx₀）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+1-y₀²=0，…（14分）
因为x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+（x₀²-3）=0，
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，
因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以k₁，k₂满足方程（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+（x₀²-3）=0，
因而k₁•k₂=-1，即直线l₁，l₂的斜率之积是为定值-1…（16分）

点评：本题主要考查在新定义下圆与圆锥曲线的综合问题．解决新定义的题目，一定要理解定义，避免出错．