Question

设数列{a_n}的首项，且，n∈N^*，记，，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃；
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当时，数列{c_n}前n项和为S_n，求S_n最值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由且，n∈N^*，求解可得a₂=a+，a₃=（a+）．
（II）由记，可推知b_n=a_2n-1-=（a_2n-3+）-=（a_2n-3-）=b_n-1，又因为b₁=a₁-=a-≠0由等比数列的定义可知数列{b_n}为等比数列．
（III）当a＞时，{b_n}为正项等比数列，可由b_n+1+b_n+2+b_n+…+b_n+m=b_n+1＜2b_n+1=b_n，当n≥4时，s_n-s₃=-b₄-b₅+…+，从而有s_n-s₃＜b2-b3-b4-…-bn＜0同理，可得s_n-s₁=b₂+b₃-b₄-b₅+…+，可推知：当n≥4，s₁＜s_n＜s₃，s₁＜s₂＜s₃从而得到结论．
解答：解：（I）a₂=a+，a₃=（a+）
（II）∵b_n=a_2n-1-=（a_2n-3+）-=（a_2n-3-）=b_n-1
∵b₁=a₁-=a-≠0
∴的等比数列
（III）当a＞时，
∵{b_n}为正项等比数列，
∴b_n+1+b_n+2+b_n+…+b_n+m=b_n+1＜2b_n+1=b_n
当n≥4时，s_n-s₃=-b₄-b₅+…+bn＜b2-b3-b4-…-bn＜0
s_n-s₁=b₂+b₃-b₄-b₅+…+bn＞b2-b3-b4-…-bn＞0
当n≥4，s₁＜s_n＜s₃，s₁＜s₂＜s₃
故s_n的最大值为s₃=（a+），最小值为s₁=a+
点评：本题主要考查数列的定义，通项及前n项和，还考查了数列的构造及前n项和的最值问题．难度较大．