Question

5．已知函数y=cos²x-sin²x+2sinxcosx
（1）若x=$\frac{π}{4}$，求y的值；
（2）若x∈$（0，\frac{π}{4}）$，求y的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正弦函数公式及倍角公式化简可得y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），代入x=$\frac{π}{4}$即可求得y的值；
（2）由x∈$（0，\frac{π}{4}）$，可得2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），利用正弦函数的图象和性质即可求得值域．

解答 解：（1）∵y=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴x=$\frac{π}{4}$，y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{4}$）=1；
（2）∵x∈$（0，\frac{π}{4}）$，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
∴y的值域是（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了倍角公式，两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．