Question

10．设奇函数f（x）（x∈R）在（-∞，0]上是减函数，且有f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），求函数y=3+2a-a²的单调区间．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的关系，解不等式，由此求得a的取值范围，结合一元二次函数的单调性的性质进行求解即可．

解答 解：由题意可得，函数f（x）在（0，+∞）上也是减函数，
2a²+a+1=2（a+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$＞0，3a²-2a+1=3（a-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{2}{3}$＞0，
由f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），
可得 2a²+a+1＞3a²-2a+1，即 a（a-3）＜0，
求得0＜a＜3，
函数y=3+2a-a²的对称轴为a=1，抛物线开口向下，
则函数在（0，1]上为增函数，则[1，3）上为减函数，
即函数的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，3）．

点评 本题主要考查奇函数的性质，函数的单调性的应用，一元二次不等式的解法，属于中档题．