Question

已知函数f（x）=

2x-1，(x≤0) f(x-2)+1，(x＞0)

，把函数g（x）=f（x）-

1

2

x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和S_n，则S₂₀₁₅=（　　）

• A、1007×2015
• B、1008×2015
• C、2014×2015
• D、2015×2016

Answer 1

考点：数列的求和,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：当x≤0时，由2x-1=

1

2

x，解得x=-1或0，可得a₁=0．当x＞0时，f（x）-f（x-2）=1，可得f（2）=1，f（4）=2，a₂=2．同理可得a_n=2（n-1），再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：当x≤0时，由2x-1=

1

2

x，解得x=-1或0，∴a₁=0．
当x＞0时，f（x）-f（x-2）=1，
∴f（2）-f（0）=1，f（4）-f（2）=1，可得f（4）=2，∴a₂=2．
同理可得a_n=2（n-1），
∴S₂₀₁₅=

2015(0+2×2015-2)

2

=2014×2015．
故选：C．

点评：本题考查了分段函数的性质、函数的零点、等差数列的前n项和公式，考查了猜想归纳的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．