Question

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（ⅱ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（ⅰ）由题目给出的边的关系，利用勾股定理得到PA⊥AD，结合PA⊥CD，由线面垂直的判定得到结论；
（ⅱ）取PC中点F，过点F在面PCD内作CE的平行线FG，交PD于点G，可知G为PE的中点，连结BG后有BG∥OE，由两面平行的判定可得面FBG∥面AEC，从而得到要证得结论；
（Ⅱ）由（ⅰ）知PA⊥面ABCD，则可证CD⊥面PAD，由此可得∠CED为直线CE与面PAD所成的角，通过解三角形可得直线CE与平面PAD所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）证明：如图，
（ⅰ）因为PA=AD=1，PD=，
所以PA²+AD²=PD²，即PA⊥AD．
又PA⊥CD，AD，CD相交于D，
所以PA⊥平面ABCD．
（ⅱ）当点F为PC的中点时，满足BF∥平面AEC．
证明如下：
因为F为PC的中点，过点F在面PCD内作CE的平行线FG，交PD于点G，
连结BG，设AC与BD相交于点O，则有BG∥OE，FG∥CE，
因为FG∩BG=G，且FG，BG不在平面AEC内，所以面FBG∥面AEC，
因为BF?面FBG，所以有BF∥平面AEC成立；
（Ⅱ）解：因为CD⊥面PAD，所以CE在面PAD上的射影即为ED，
即∠CED为直线CE与面PAD所成的角，
因为，CD=1，所以，
所以．
即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为．
点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面所成的角，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答的关键是创设判定定理成立的条件，是中档题．