Question

（2013•怀化二模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N^*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．给出下列4个函数：①f(x)=-cos(

π

2

-x)；②f(x)=(

1

3

)x；③f（x）=-log₂x；④f（x）=2π（x-3）²+5．其中是一阶格点函数的是（　　）

A．①③

B．②③

C．③④

D．①④

Answer 1

分析：由定义对四个函数逐一验证，找出只有一个整数点的函数即可，①中的函数图象与横轴交点都是整点；②中的函数只有当x=1时才是整点；③中的函数可以验证横坐标为，1，2，④中的函数只有当x=0时才能取到整点；⑤中的函数验证x=0，x=2即可排除；

解答：解：①显然点（0，0）在函数f(x)=-cos(

π

2

-x)=-sinx的图象上，而且函数的格点只有最高点和最低点
以及图象与x轴的交点处，但这些点的横坐标都不是整点，故函数f(x)=-cos(

π

2

-x)是一阶格点函数；
②函数f(x)=(

1

3

)x中，当x取负整数或者零时，都是整点，故函数f(x)=(

1

3

)x的格点有无数个，
故不是一阶格点函数；
③函数f（x）=log₂x，显然点（1，0）为其格点，当x=2n（n=0，1，2，），都是整点，
故函数f（x）=log₂x不是一阶格点函数．
④函数f（x）=2π（x-3）²+5图象上点（3，5）为整点，当x取x≠3的整数时，函数值都不是整数，
故函数f（x）=2π（x-3）²+5是一阶格点函数；
故答案为D．

点评：本题考查新定义，求解此类题的关键是对新定义作出正确的理解，以及对所给的几个函数的性质与图象有着比较清晰的记忆．