Question

（2013•怀化二模）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左焦点为F，左、右顶点分别为A，C，上顶点为B，过B，C，F三点作圆P．
（Ⅰ）若线段CF是圆P的直径，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若圆P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程；
（Ⅲ）若直线y=x+t交（Ⅱ）中椭圆于M，N，交y轴于Q，求|MN|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的方程知a=1，根据线段CF是圆P的直径，求出c的值，即求椭圆的离心率；
（Ⅱ）利用圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，确定P的坐标，根据圆P的圆心在直线x+y=0上，求出基本量，即可求椭圆的方程；
（Ⅲ）直线y=x+t与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出|MN|•|OQ|，利用基本不等式，可求最大值．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆的方程知a=1，∴点B（0，b），C（1，0），设F的坐标为（-c，0），
∵FC是圆P的直径，∴FB⊥BC，
∵kBC=-b，kBF=

b

c

，∴-b•

b

c

=-1…（2分）
∴b²=c=1-c²，c²+c-1=0解得c=

5 -1

2

，
∴椭圆离心率e=

c

a

=

5 -1

2

…（4分）
（Ⅱ）∵圆P过点F，B，C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为x=

1-c

2

①
∵BC的中点为(

1

2

，

b

2

)，kBC=-b，∴BC的垂直平分线方程为y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)②
由①②得x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

，即P(

1-c

2

，

b2-c

2b

)…（7分）．
∵P在直线x+y=0上，∴

1-c

2

+

b2-c

2b

=0⇒(1+b)(b-c)=0，
∵1+b＞0，∴b=c．
由b²=1-c²得b2=

1

2

，∴椭圆的方程为x²+2y²=1…（9分）
（Ⅲ）由

y=x+t x2+2y2=1

得3x²+4tx+2t²-1=0（*）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

4

3

t，x1x2=

2t2-1

3

∴|MN|²=2[（x+x）²-4x₁x₂]=2(

16t2

9

-

8t2-4

3

)=

2

9

(-8t2+12)…（11分）．
∴|MN|•|OQ|=

2 9 (-8t2+12)

|t|=

2 9 (-8t2+12)t2

≤

2 9 • 1 8 ( (-8t2+12)+8t2 2 )2

=

1

6

•6=1…（13分）
当且仅当-8t²+12=8t²，t2=

12

16

=

3

4

时取等号．
此时方程（*）中的△＞0，∴|MN|•|OQ|的最大值为1…（13分）

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定椭圆的方程是关键．