Question

已知双曲线C:=1(a＞0,b＞0)的离心率为2,一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为.直线l过点P(0,-2)且与双曲线C交于相异两点M、N.

(1)求双曲线C的方程;

(2)设t=·+· (O为坐标原点),求t的取值范围.

Answer 1

解:(1)由e==2,

∴c=2a.

∴b²=c²-a²=3a²,即b=a.                                                  

∴==,==.

∴双曲线C的右准线方程为x=,渐近线方程为y=±x.

由解得

故一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为S=2×××=.   

可得a²=4,b²=3a²=12,

故所求双曲线C的方程为-=1.                                     

(2)由条件知直线斜率一定存在,设其为k,则直线l的方程为y=kx-2,

代入-=1,可得(3-k²)x²+4kx-16=0.

∵直线l与双曲线C交于相异两点,

∴

解得k²＜4且k²≠3,                                                     

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则

∴t=·+·=·(+)

=·=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁-2)(kx₂-2)

=(k²+1)x₁x₂-2k(x₁+x₂)+4

==,                                             

又0≤k²＜4且k²≠3,

∴∈(-∞,-]∪(1,+∞).

∴t的取值范围为(-∞,-]∪(52,+∞).