Question

设x、y满足条件

.

x

.

+

.

y-1

.

≤2，若目标函数z=

x

a

+

y

b

（其中b＞a＞0）的最大值为5，则8a+b的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=

x

a

+

y

b

（其中b＞a＞0）的最大值为5，确定a，b关系，利用基本不等式的性质即可得到结论．

解答： 解：由z=

x

a

+

y

b

得y=-

b

a

x+bz，
∵b＞a＞0，
∴斜率k=-

b

a

＜-1
作出可行域如图：平移直线y=-

b

a

x+bz，
由图象可知当y=-

b

a

x+bz过点A（2，1）时，直线的截距最大，此时z也最大为5．
此时z=

2

a

+

1

b

=5，
即

2

5a

+

1

5b

=1
则8a+b=（8a+b）（

2

5a

+

1

5b

）=

16

5

+

1

5

+

8a

5b

+

2b

5a

≥

17

5

+2

8a 5b • 2b 5a

=

17

5

+

8

5

=

25

5

=5，
当且仅当

8a

5b

=

2b

5a

，即b=2a时取=号，
故答案为：5．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．