【题目】设函数
，
.
(Ⅰ)讨论函数
的单调性；
(Ⅱ)当
时，函数
恰有两个零点
，证明：
【答案】(1) 当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；当
时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明见解析.
【解析】分析：（1）对函数求导，令
，
，分
，判断出单调性；（2）采用综合分析法证明， 由已知条件求出 
，要证明
，即证
，即证
，令
，通过证明
，得出结论。
详解： (Ⅰ)
.
∵
，∴由
，得
，即
.
若，当
变化时，
，
的变化情况如下表
|
|
|
|
| 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
若，当变化时，，的变化情况如下表：
|
|
|
|
| + | 0 | - |
| 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
综上，当时，在
上单调递减，在
上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
(Ⅱ)∵当时，函数恰有两个零点
，
，
则
，即
.
两式相减，得
∵
，∴
，∴
，∴
.
∴要证，即证
，即证
即证
令 
，则即证
.
设
，即证
在
恒成立.
.
∵
在
恒成立.∴
在单调递增.
∵
在
是连续函数，
∴当时，
∴当时，有.
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初始溶液含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少
.
（1）写出杂质含量y与过滤次数n的函数关系式；
（2）过滤7次后的杂质含量是多少？过滤8次后的杂质含量是多少？至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段
，
，
，
，
，
，到如图所示的频率分布直方图.
（1）求图中
的值及样本的中位数与众数；
（2）若从竞赛成绩在与两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于
分为事件
,求事件发生的概率.
（3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在内的为一等奖,得分在内的为二等奖, 得分在内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设
为获得三等奖的人数,求的分布列与数学期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
，
为参数），以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，若直线与曲线相切；
（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；
（2）在曲线上取两点
，
与原点构成
，且满足
，求面积的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成木为30000元，每生产x件，需另投入成本为t元， 
，每件产品售价为10000元．（该新产品在市场上供不应求可全部卖完．）
（1）写出每天利润y关于每天产量x的函数解析式；
（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．
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