Question

【题目】已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数的值域为，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）增区间是，单调减区间是；（2）或

【解析】

（1）利用导数求出的单调区间以及，时的范围，即可得到函数的单调区间；

（2）先利用有解求出的大致范围，再证明在该范围内即可。

（1）当，，所以，

由于，可得．

当时，，是减函数；当时，，是增函数；

因为当时，；当时，

所以函数的单调增区间是，单调减区间是

（2）由题意知必有解，即有解，

所以，即直线与曲线 有交点．

则，令得和；

令得和．

所以和，为增函数；和，为减函数．

，当时，恒成立；

所以时，；当时，，所以时，；

，即时， ，的图像如图所示．

直线与曲线有交点，即或，所以或，

下证，先证，设，则，

当时，，函数h（x）单调递减，当时，，函数单调递增，

所以，即；

当时，若，

因为在时的值域是，又因为函数连续，所以：；

当时，若，，

当时，，时；所以时，

又因为函数连续，所以，

综上，或．