Question

（2006•丰台区一模）设函数f(x)=sin(ωx+

π

4

)(x∈R，ω＞0)的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）若f(x)•sin(

π

4

-2x)=

1

4

，x∈(

π

4

，

π

2

)，求tanx的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数图象可得

T

4

=

3π

8

-

π

8

=

π

4

，从而可求T，由T=

2π

ω

可求得ω，于是可得f （x）的表达式；
（Ⅱ）由正余弦的诱导公式及倍角公式可将f(x)•sin(

π

4

-2x)=

1

4

，x∈(

π

4

，

π

2

)转化为：cos4x=

1

2

，结合条件x∈（

π

4

，

π

2

），得到4x∈（π，2π），从而可求得x=

5π

12

=

π

4

+

π

3

，再利用两角和的正切即可求得tanx的值．

解答： 解：（Ⅰ）设f（x）=sin（ωx+

π

4

）的周期为T，
∵

T

4

=

3π

8

-

π

8

=

π

4

，
∴T=π，又T=

2π

ω

，
∴ω=2，
所以 f(x)=sin(2x+

π

4

)…（3分）
（Ⅱ）∵f(x)•sin(

π

4

-2x)=sin(2x+

π

4

)sin(

π

4

-2x)=sin(2x+

π

4

)cos(2x+

π

4

)=

1

4

，
∴sin（4x+

π

2

）=

1

2

，即cos4x=

1

2

，
又x∈（

π

4

，

π

2

），
∴4x∈（π，2π），
∴4x=

5π

3

，x=

5π

12

…（9分）
∴tanx=tan

5π

12

=tan(

π

4

+

π

6

)=

tan π 4 +tan π 6

1-tan π 4 •tan π 6

=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

…（13分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及三角函数的恒等变换及化简求值，难点在于得到cos4x=

1

2

，结合条件求得x=

5π

12

，着重考查三角函数公式的灵活运用能力，属于中档题．