Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，

因为M、N分别是棱AD、PC中点，

所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥平面PMB

（2）解： PD⊥MB

又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，

所以MB⊥AD．

又AD∩PD=D，

所以MB⊥平面PAD. 平面PMB⊥平面PAD

（3）解：因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．

过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．

故DH是点D到平面PMB的距离. ．

∴点A到平面PMB的距离为 ．

【解析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PD⊥MB，又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．