Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．则|AC|的取值范围为

[3，4

3

]

．

Answer 1

分析：由已知中f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，由点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．利用函数在极值点处的导数值为0，可得c=0，进而可设A（α，0），C（β，0），根据韦达定理可求出α，β与a，b，c，d的关系式，将x=2代入后再利用韦达定理求出A，C的距离，据②的结论可求出|AC|的最值，进而得到|AC|的取值范围．

解答：解：①由可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0
②令f′（x）=0，则3ax²+2bx=0，
解得  x₁=0，x₂=-

2b

3a

．
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
得

- 2b 3a ≥2 - 2b 3a ≤4

解得-6≤

b

a

≤-3．
③由题意，可设A（α，0），C（β，0），
则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]=ax³+bx²+cx+d
则

b=-a(2+α+β) c=2α+2β+αβ=0 d=-2aαβ

，解得

α+β=- b a -2 αβ=- d 2a

又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），
 αβ=4+

2b

a

从而  |AC|=|α-β|=

(α+β)2-4αβ

=

( b a -2)2-16

∵-6≤

b

a

≤-3
∴当

b

a

=-6时，|AC|max=4

3

；当

b

a

=-3时，|AC|min=3．
所以3≤|AC|≤4

3

故答案为：[3，4

3

]

点评：本题考查极值点处的函数值为0，极值点左右两边的导函数符号相反；解决二次方程的根的问题常用到韦达定理．