Question

（2013•闵行区二模）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y²=x于P₁点，过P₁点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q₁点，交Γ于P₂点；过P₂点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q₂点，交Γ于P₃点；过P₃点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q₃点，交Γ于P₄点；如此下去…．又设线段OQ₁，Q₁Q₂，Q₂Q₃，…，Q_n-1Q_n，…的长分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，数列{a_n}的前n项的和为S_n．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n，S_n；
（3）设bn=aan(a＞0且a≠1)，数列{b_n}的前n项和为T_n，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T_p•T_s与T_q•T_r的大小．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质，算出点P₁(

a1

2

，

3 a1

2

)，代入抛物线求得a1=

2

3

，同样的方法可算出a2=

4

3

；
（2）由点Q_n-1（S_n-1，0）建立直线Q_n-1P_n的方程，与抛物线方程消去x得关于|y|的方程，解出|y|关于S_n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得3

a

2 n

-2an=4Sn-1，用n+1代替n得到3

a

2 n+1

-2an+1=4Sn，将两式作差整理可得an+1-an=

2

3

，从而得到{a_n}是以

2

3

为首项、

2

3

为公差的等差数列，再用等差数列通项与求和公式可得a_n、S_n的表达式；
（3）由（2）得{b_n}是公比q0=a

2

3

≠1、首项b1=a

2

3

=q0的正项等比数列．因此根据等比数列的求和公式，将T_p•T_s与T_q•T_r作差，结合正整数p，q，r，s成等差数列且p＜q＜r＜s，化简整理可得T_p•T_s-T_q•T_r=-

q

p 0

(

q

d 0

-1)(

q

2d 0

-1)，
讨论所得结果的可得T_p•T_s-T_q•T_r＜0，可得必定有T_p•T_s＜T_q•T_r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本题答案．

解答：解：（1）如图，由△OQ₁P₁是边长为a₁的等边三角形，得点P₁的坐标为(

a1

2

，

3 a1

2

)，
又∵P₁(

a1

2

，

3 a1

2

)在抛物线y²=x上，
∴

3 a 2 1

4

=

a1

2

，得a1=

2

3

…（2分）
同理根据P₂(

2

3

+

a2

2

，-

3 a2

2

)在抛物线y²=x上，可得a2=

4

3

…（4分）
（2）如图，因为点Q_n-1的坐标为（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1，0），即点（S_n-1，0）（点Q₀与原点重合，S₀=0），
所以直线Q_n-1P_n的方程为y=

3

(x-Sn-1)或y=-

3

(x-Sn-1)，
因此，点P_n的坐标满足

y2=x |y|= 3 (x-Sn-1)

消去x得

3

y2-|y|-

3

Sn-1=0，所以|y|=

1+ 1+12Sn-1

2 3

…（7分）
又|y|=an•sin60°=

3

2

an，故3an=1+

1+12Sn-1

从而3

a

2 n

-2an=4Sn-1…①
由①有3

a

2 n+1

-2an+1=4Sn…②
②-①得3(

a

2 n+1

-

a

2 n

)-2(an+1-an)=4an
即（a_n+1+a_n）（3a_n+1-3a_n-2）=0，又a_n＞0，于是an+1-an=

2

3

所以{a_n}是以

2

3

为首项、

2

3

为公差的等差数列，an=a1+(n-1)d=

2

3

n
由此可得：Sn=

(a1+an)n

2

=

1

3

n(n+1)…（10分）
（3）∵

bn+1

bn

=

a 2(n+1) 3

a 2n 3

=a

2

3

，
∴数列{b_n}是正项等比数列，且公比q0=a

2

3

≠1，首项b1=a

2

3

=q0，
∵正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，设其公差为d，则d为正整数，
∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d
则Tp=

b1(1- q p 0 )

1-q0

，Tq=

b1(1- q p+d 0 )

1-q0

，Tr=

b1(1- q p+2d 0 )

1-q0

，Ts=

b1(1- q p+3d 0 )

1-q0

…（12分）
T_p•T_s-T_q•T_r=

b 2 1

(1-q0)2

•[(1-

q

p 0

)(1-

q

p+3d 0

)-(1-

q

p+d 0

)(1-

q

p+2d 0

)]=

b 2 1

(1-q0)2

•[(

q

p+d 0

+

q

p+2d 0

)-(

q

p 0

+

q

p+3d 0

)]…（14分）
而(

q

p+d 0

+

q

p+2d 0

)-(

q

p 0

+

q

p+3d 0

)=

q

p 0

(

q

d 0

-1)-

q

p+2d 0

(

q

d 0

-1)
=(

q

d 0

-1)(

q

p 0

-

q

p+2d 0

)=(

q

d 0

-1)

q

p 0

(1-

q

2d 0

)=-

q

p 0

(

q

d 0

-1)(

q

2d 0

-1)…（16分）
由于a＞0且a≠1，可得q0=a

2

3

＞0且q0≠1，
又∵d为正整数，∴(

q

d 0

-1)与(

q

2d 0

-1)同号，
因此，-

q

p 0

(

q

d 0

-1)(

q

2d 0

-1)＜0，可得T_p•T_s＜T_q•T_r． 
综上所述，可得若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，必定有T_p•T_s＜T_q•T_r．…（18分）

点评：本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q_n-1Q_nP_n的边长a_n的表达式，并设bn=aan，数列{b_n}的前n项和为T_n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T_p•T_s与T_q•T_r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．