Question

已知f（x）满足f(logax)=

a

a2-1

(x-x-1)其中a＞0且a≠1．
（1）对于x∈（-1，1）时，试判断f（x）的单调性，并求当f（1-m）+f（1-m²）＜0时，求m的值的集合．
（2）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先由换元法求出f（x）的解析式，由定义判断函数的单调性和奇偶性，应用函数的奇偶性将已知不等式转化为f（1-m）＜f（m²-1），再利用单调性转化为

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

求解即可．
（2）由（1）中的单调性可直接转化为f（2）-4≤0，解不等式即可．

解答：解：（1）令log_ax=t，则x=a^t，所以f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)，即f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)
当a＞1时，因为a^x-a^-x为增函数，且

a

a2-1

＞0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
当0＜a＜1时，因为a^x-a^-x为减函数，且

a

a2-1

＜0，所以f（x）在（-1，1）上为增函数；
综上所述，f（x）在（-1，1）上为增函数．
又因为f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），故f（x）为奇函数．
所以f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）
由f（x）在（-1，1）上为增函数，可得

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

解得1＜m＜

2

，即m的值的集合为{m|1＜m＜

2

}
（2）由（1）可知，f（x）为增函数，故x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负数
只要f（2）-4＜0即可，即f（2）=

a

a2-1

(a2-a-2)=

a

a2-1

a4-1

a2

=

a2+1

a

＜4
解得2-

3

＜a＜2+

3

又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是(2-

3

)∪(1，2+

3

)

点评：本题考查函数单调性、奇偶性的判断和应用：解不等式，综合性较强．