Question

设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a²＋b²＝0.

Answer 1

证明见试题解析.

试题分析：充要条件的证明要分别证明充分性和必要性，.本题充分性是由证明为奇函数，必要性是由为奇函数证明.
试题解析：证明充分性：∵a²＋b²＝0，∴a＝b＝0，       2
∴f(x)＝x|x|                  3
∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，           4
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数        6
必要性：若f(x)为奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立     7
即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立           8
令x＝0，则b＝－b，∴b＝0，            10
令x＝a，则2a|a|＝0，∴a＝0                11
即a²＋b²＝0       12