Question

已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x⁴－2x².
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求函数f(x)的值域．

Answer 1

（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0]

(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．
(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)⁴－2(－x)²＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x⁴－2x²＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x⁴－2x²＝lg(1－x²)＋x⁴－2x²，
设t＝1－x²，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．
所以y＝lg(1－x²)＋x⁴－2x²＝lgt＋(t²－1)，t∈(0，1]，
设0<t₁<t₂≤1，则lgt₁<lgt₂，<，
所以lgt₁＋(－1)<lgt₂＋(－1)，
所以函数y＝lgt＋(t²－1)在t∈(0，1]上为增函数，
所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．