Question

在R上的减函数f（x）满足当且仅当x∈MR⁺时，值域为［0，2］，且f（）=1，又对M中的任意x₁、x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），

（1）证明f^-1（x₁）f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；

（2）解不等式f^-1（x²+x）f^-1（x+2）≤（0≤x≤2）.

Answer 1

（1）证明：任取x₁、x₂∈［0，２］，且设y₁=f^-1（x₁），y₂=f^-1（x₂）x₁=f（y₁），x₂=

f（y₂），

则x₁+x₂=f（y₁）+f（y₂）=f（y₁y₂）y₁y₂f^-1（x₁+x₂）.

又y₁y₂=f^-1（x₁）f^-1（x₂），

所以f^-1（x₁）f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）成立.

（2）解：f（x）为减函数，则f^-1（x）也为减函数.因f（）=f（×）=f（）+f（）=2，

则f^-1（x²+x）f^-1（x+2）≤

f^-1（x²+2x+2）≤f^-1（2）

x=0或x=-2.

又由已知条件0≤x≤2，得x=0.