Question

设θ为第三象限角，试判断

sin θ 2

cos θ 2

的符号．

Answer 1

分析：根据题意写出角θ的集合，再求

θ

2

的集合，根据k取偶数和奇数两种情况，分别判断sin

θ

2

和cos

θ

2

的符号，进而得到式子

sin θ 2

cos θ 2

的符号．

解答：解∵θ为第三象限角，∴2kπ+π＜θ＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），
kπ+

π

2

＜

θ

2

＜kπ+

3π

4

（k∈Z）．
当k=2n（n∈Z）时，2nπ+

π

2

＜

θ

2

＜2nπ+

3π

4

，此时

θ

2

在第二象限，
∴sin

θ

2

＞0，cos

θ

2

＜0，∴

sin θ 2

cos θ 2

＜0．
当k=2n+1（n∈Z）时，即（2n+1）π+

π

2

＜

θ

2

＜（2n+1）π+

3π

4

 （n∈Z），
即2nπ+

3π

2

＜

θ

2

＜2nπ+

7π

4

 （n∈Z），此时

θ

2

在第四象限．
∴sin

θ

2

＜0，cos

θ

2

＞0，因此

sin θ 2

cos θ 2

＜0，
综上可知，

sin θ 2

cos θ 2

＜0．

点评：本题的考点是三角函数的符号应用和象限角的表示，即通过分类讨论判断出角

θ

2

的象限，再根据“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断三角函数值的符号．