Question

 如图，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求证：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大小；
（3）求三棱锥D-AMN的体积．

Answer 1

分析：（1）利用BCD是矩形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中点，可得等腰三角形根据等腰三角形的性质可知MN⊥AB；
（2）先判断∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，再利用PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，即可求得二面角P-CD-A的大小；
（3）利用等体积转化，利用V_D-AMN=V_N-AMD可求三棱锥D-AMN的体积．

解答：解：（1）∵PA⊥面ABCD，ABCD是矩形
∴∠PAC=∠PBC=90°…（2分）
又N为PC的中点，∴AN=

1

2

PC，BN=

1

2

PC
∴AN=BN…（4分）
而M是AB的中点，∴MN⊥AB   …（5分）
（2）由PD=AB=DC，N是PC的中点得：ND⊥PC，
又由面MND⊥面PCD得：PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC   …（7分）
Rt△MPA≌Rt△MCB，
∴PA=BC=2
即PA=AD=2，∠PDA=45°，…（9分）     
易知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小为45°…（10分）
（3）N到平面AMD的距离d=1，AM=

2

，AD=2…（12分）
所以VD-AMN=VN-AMD=

1

3

d•S△AMD=

1

3

d•(

1

2

•AM•AD)=

2

3

…（14分）

点评：本题的考点是二面角的平面角及求法，主要考查面面垂直性质的运用，考查线线垂直，考查面面角，考查三棱锥的体积．