Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．
（1）求证：BC∥平面A₁DE；
（2）求证：BC⊥平面A₁DC；
（3）当D点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：根据线线平行⇒线面平行证明（1）；根据线面垂直?线线垂直可证（2）；
设AD=x或设DC=x，利用垂直关系判定△，△A₁CB，△A₁DC的形状，构造以A₁B为变量，x为自变量的函数，求函数的最小值即可．

解答：解：（本小题共14分）                                                        
（1）证明：∵DE∥BC，DE?面A₁DE，BC?面A₁DE
∴BC∥面A₁DE…（4分）
（2）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE∴A₁D⊥DE．
又A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥面BCDE．
由BC?面BCDE，
∴A₁D⊥BC．BC⊥CD，A₁D∩CD=D，
∴BC⊥面A₁DC．…（9分）
（3）设DC=x则A₁D=6-x由（Ⅱ）知，△A₁CB，△A₁DC均为直角三角形．
A1B=

A1C2+BC2

=

A1D2+DC2+BC2

，即A1B=

x2+32+(6-x)2

=

2x2-12x+45

=

2(x-3)2+27

…（12分）
当x=3时，A₁B的最小值是3

3

．
即当D为AC中点时，A₁B的长度最小，最小值为3

3

．…（14分）

点评：本题考查线面平行、垂直的判定与空间中点、点距离的最值问题．设出变量，构造函数利用求函数最值的方法求解，是此类题的常用方法．