Question

函数f（x）满足2f（x）-f=4x，数列{a_n}和{b_n}满足下列条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+f（n），b_n=a_n+1-a_n，n∈N；
（1）f（x）的解析式；
（2）求数列b_n的通项公式；
（3）试比较2a_n与b_n的大小，且证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵2f（x）-f=4x，
∴，
联立方程组，
①×2+②，得3f（x）=6x+3，
∴f（x）=2x+1．（4′）
（2）由题设，a_n+1=2a_n+2n+1 ①，
a_n+2=2a_n+1+2n+3 ②，
②-①：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）+2 （6′）
即b_n+1=2b_n+2?b_n+1+2=2（b_n+2），
∴{b_n+2}为等比数列，
q=2，b₁=a₂-a₁=4 （8′）
b_n+2=6•2^n-1?b_n=3•2ⁿ-2 （10′）
（3）由上，a_n+1-a_n=3•2ⁿ-2 ③，
a_n+1-2a_n=2n+1 ④，
③-④：a_n=3•2ⁿ-2n-3 （12）
∴2a_n-b_n=3•2ⁿ-4n-4．
n=1时，2a₁-b₁=-2＜0，
此时2a_n＜b_n；
n=2时，2a₂-b₂=0，
此时2a_n=b_n； （14′）
n≥3时，
3•2ⁿ
=3（1+1）ⁿ
=3（1+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ）
＞3（1+C_n¹+C_n^n-1）
=6n+3
＞4n+4，
此时，2a_n＞b_n．
综上可得：当n=1时，2a_n＜b_n，
当n=2时，2a_n=b_n，
当n≥3时，2a_n＞b_n．（18′）
分析：（1）由2f（x）-f=4x，联立方程组，由此能求出f（x）的解析式．
（2）由题设，a_n+1=2a_n+2n+1，a_n+2=2a_n+1+2n+3，所以a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）+2，即b_n+1=2b_n+2?b_n+1+2=2（b_n+2），由此能求出数列b_n的通项公式．
（3）由a_n+1-a_n=3•2ⁿ-2，a_n+1-2a_n=2n+1，知a_n=3•2ⁿ-2n-3．所以2a_n-b_n=3•2ⁿ-4n-4．由此能够判断比较2a_n与b_n的大小，并进行证明．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，综合性强，难度大，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答．