Question

若f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=-x²-2x+a，若?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立，则实数a的取值范围为

 

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Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：先根据奇函数性质、结合当x＜0时，f（x）=-x²-2x+a，求出x∈[0，+∞）时f（x）的表达式，然后只需f（a）≤f（x）_min即可，再借助二次函数求最值的方法求出f（x）的最小值，解出关于a的不等式获解．

解答： 解：由题意f（0）=0．
设x＞0，则-x＜0，所以f（-x）=-（-x）²+2x+a=-x²+2x+a，
又因为f（-x）=-f（x），所以f（x）=x²-2x-a，（x＞0）
当a＜0时，f（a）=-a²-a；当a＞0时，f（a）=a²-3a．
①当a＜0时，
若x=0，则f（0）=0，只需f（a）=-a²-a≤0，解得a≤-1（?），
若x＞0，f（x）=x²-2x-a=（x-1）²-（a+1），其对称轴x=1∈[0，+∞），结合图象可知：f（x）_min=f（1）=-（a+1），
只需f（a）=-a²-a≤-（a+1），即a²-1≥0，解得a≥1或a≤-1，
结合（?）式可得：a＜0时，满足?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立的a的范围是a≤-1；
②当a≥0时，
若x=0，则f（0）=0，此时只需f（a）=a²-3a≤0，解得0≤a≤3（1）
若x＞0，f（x）=x²-2x-a=（x-1）²-（a+1），其对称轴x=1∈[0，+∞），结合图象可知：f（x）_min=f（1）=-（a+1），
所以此时需f（a）=a²-3a≤-（a+1），即（a-1）²≤0，所以a=1（2）
由（1）（2）可得a≥0时，满足?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立的a的范围是a=1．
由①②可知，当a=1或a≤-1时，对?x∈[0，+∞），f（x）≥f（a）恒成立．

点评：本题较为复杂，不但要讨论x的范围，还要对a的范围讨论，确定f（a），要仔细考虑，分析清楚才不会出错．