Question

已知向量=(2,0),=(0,1),动点M到定直线y=1的距离等于d,并且满足=k(-d²),其中O是坐标原点,k是参数,

(1)求动点M的轨迹方程并判断曲线类型;

(2)当k=时,求||的最大值与最小值;

(3)如果动点M的轨迹是一圆锥曲线,其离心率e满足,求k的取值范围.

Answer 1

解：(1)设M(x,y),则由=(2,0),=(0,1),且O是原点,得A(2,0),B(2,1),C(0,1).

从而=(x,y),=(x-2,y),=(x-2,y-1),=(x,y-1),d=|y-1|.

根据=k(),得(x,y)·(x-2,y)=k［(x,y-1)·(x-2,y-1)-|y-1|²］,

即(1-k)x²+2(k-1)x+y²=0为所求轨迹方程.当k=1时,y=0,动点M的轨迹是一条直线;当k≠1时,方程可化为(x-1)²+=1,当k=0时,动点M的轨迹是一个圆;当0＜k＜1或k＜0时,动点M的轨迹是一个椭圆;当k＞1时,动点M的轨迹是双曲线.

(2)当k=时,动点M的轨迹方程是(x-1)²+2y²=1,即y²=-(x-1)²,从而||²=|(x,y)+2(x-2,y)|²=|(3x-4,3y)|²=(3x-4)²+9y²=(3x-4)²+9［-(x-1)²］=(x-)²+.

又由(x-1)²+2y²=1得0≤x≤2,所以当x=时,||²取得最小值;当x=0时,||²取得最大值16,因此,|OM+2AM|的最小值是,最大值是4.

(3)由于≤e≤,所以此时圆锥曲线是椭圆,其方程为(x-1)²+=1.

①当0＜k＜1时,a²=1,b²=1-k,c²=a²-b²=k,此时e²==k,而≤e≤,∴≤k≤.

②当k＜0时,a²=1-k,b²=1,c²=a²-b²=-k,此时e²==,而≤e≤,

∴≤≤,可解得-1≤k≤-.综上可得k的取值范围是［-1,-］∪［,］.