Question

已知常数数列的前项和为，且
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若且数列是单调递增数列，求实数的取值范围；
（3）若数列满足：对于任意给定的正整数，是否存在使若存在，求的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）∵∴，，   ┄┄┄2分
∴
化简得：（常数），
∴数列是以1为首项，公差为的等差数列；              ┄┄┄4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，，
∴，∴
①当是奇数时，∵，∴，
令，∴
∵
∴，且，∴； ┄7分
②当是偶数时，∵，∴，
令，∴
∵
∴，且，∴；
综上可得：实数的取值范围是．                          ┄10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，
设对任意正整数k，都存在正整数，使，
∴，∴         ┄┄┄12分
令，则（或）
∴（或）                       ┄16分

略