Question

如图E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形．
（2）若AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH为菱形，试证明你的结论．
（3）求证：AC∥平面EFGH．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，利用三角形中位线定理推导出EH∥FG，且EH=FG，由此能证明四边形EFGH为平行四边形．
（2）AC=BD时，四边形EFGH为菱形．由（1）知四边形EFGH为平行四边形，且FG=

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2

BD，由E、F分别是AB、BC的中点，知EF=

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AC，由AC=BD，得EF=FG，由此证明四边形EFGH为菱形．
（3）E、F分别是AB、BC的中点，得EF∥AC，由此能证明AC∥平面EFGH．

解答： （1）证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，
所以EH∥BD，且FG=

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BD，
同理，FG∥BD，且FG=

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BD，
因为EH∥FG，且EH=FG，
所以，四边形EFGH为平行四边形．
（2）解：AC=BD时，四边形EFGH为菱形．
证明：由（1）知四边形EFGH为平行四边形，且FG=

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2

BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=

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2

AC，∵AC=BD，∴EF=FG，
∴四边形EFGH为菱形．
（3）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
∵AC不色含于平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AC∥平面EFGH．

点评：本题考查四边形是平行四边形的证明，考查四边形为菱形所满足条件的判断与证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理的灵活运用．