Question

(本小题满分14分)函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x的最小值为g(a)(a∈R)．

(1)求g(a)；

(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析； (2) a＝－1.  此时f(x)取得最大值为5.       

【解析】(1)f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x＝2²－－2a－1.－1≤cosx≤1.转化为二次函数问题解决.

(2)在第（1）问的基础上，根据g(a)＝，建立关于a的方程求解即可.

解：(1)由f(x)＝1－2a－2acosx－2sin²x

＝1－2a－2acosx－2(1－cos²x)

＝2cos²x－2acosx－(2a＋1)

＝2²－－2a－1.这里－1≤cosx≤1.     …………4分      

①若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cosx＝时，f(x)_min＝－－2a－1；…………5分 

②若>1，则当cosx＝1时，f(x)_min＝1－4a；…………6分 

③若<－1，则当cosx＝－1时，f(x)_min＝1.           …………7分  

因此g(a)＝.…………8分  

(2)∵g(a)＝.

∴①若a>2，则有1－4a＝，得a＝，矛盾；   …………10分  

②若－2≤a≤2，则有－－2a－1＝，

即a²＋4a＋3＝0，∴a＝－1或a＝－3(舍)．    …………12分  

∴g(a)＝时，a＝－1.  此时f(x)＝2²＋，

当cosx＝1时，f(x)取得最大值为5.           …………14分