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    （2006•南京一模）已知函数f（x）=2+
    1
    x
    ．数列{an}中，a1=a，an+1=f（an）（n∈N*）．当a取不同的值时，得到不同的数列{an}，如当a=1时，得到无穷数列1，3，
    7
    3
    ，
    17
    7
    ，…；当a=-
    1
    2
    时，得到有穷数列-
    1
    2
    ，0．
    （1）求a的值，使得a3=0；
    （2）设数列{bn}满足b1=-
    1
    2
    ，bn=f(bn+1)(n∈N*)    ，求证：不论a取{bn}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{an}；
    （3）求a的取值范围，使得当n≥2时，都有
    7
    3
    ＜an    ＜3．
    分析：（1）利用递推关系得出a3关于a的表达式，再令a3=0解出即可；
    （2）由题知b1=-
    1
    2
    ，2+
    1
    bn+1
    =bn    ．不妨设a取bn，都可得到an=2+
    1
    an-1
    =2+
    1
    b2
    =b1=-
    1
    2
    ，an+1=0，即可；
    （3）
    7
    3
    ＜an＜3?
    7
    3
    ＜2+
    1
    an-1
    ＜3?1＜an-1＜3    ．
    由于(
    7
    3
    ，3)    ?（1，3），只要有
    7
    3
    ＜a2＜3    ，就有
    7
    3
    ＜an＜3(n≥3)    ．利用
    7
    3
    ＜f(a)＜3    ，解得即可．
    解答：解：（1）∵a1=a，an+1=2+
    1
    an
    ，
    ∴a2=2+
    1
    a1
    =
    2a+1
    a
    ，a3=2+
    1
    a2
    =
    5a+2
    2a+1
    ．
    要a3=0，即要a=-
    2
    5
    ．∴，a=-
    2
    5
    时，a3=0．
    （2）由题知b1=-
    1
    2
    ，2+
    1
    bn+1
    =bn    ．不妨设a取bn，
    ∴a2=2+
    1
    bn
    =bn-1    ，a3=2+
    1
    a2
    =2+
    1
    bn-1
    =bn-2    ，
    …，
    ∴an=2+
    1
    an-1
    =2+
    1
    b2
    =b1=-
    1
    2
    ，
    ∴an+1=0，
    ∴不论a取{bn}中的任何数，都可以得到一个有穷数列{an}．
    （3）
    7
    3
    ＜an＜3?
    7
    3
    ＜2+
    1
    an-1
    ＜3?1＜an-1＜3    ．
    ∵(
    7
    3
    ，3)    ?（1，3），∴只要有
    7
    3
    ＜a2＜3    ，就有
    7
    3
    ＜an＜3(n≥3)    ．
    由
    2a+1
    a
    ＞
    7
    3
    2a+1
    a
    ＜3
    ，解得：
    0＜a＜3
    a＜0或a＞1
    ，即1＜a＜3．
    ∴a的取值范围是（1，3）．
    点评：正确理解和应用递推关系式和把问题等价转化是解题的关键．
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