Question

数列{a_n}的前n项和S_n=2n-a_n，先计算数列的前4项，后猜想a_n并证明之．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据S_n=2n-a_n，利用递推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：由a₁=2-a₁，得a₁=1，
由a₁+a₂=2×2-a₂，得a₂=

3

2

，
由a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，得a₃=

7

4

，
由a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，得a₄=

15

8

，
猜想a_n=

2n-1

2n-1

证明：（1）当n=1，由上面计算可知猜想成立，
（2）假设n=k时猜想成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
此时S_k=2k-a_k=2k-

2k-1

2k-1

，
当n=k+1时，S _k+1=2（k+1）-a _k+1，得S_k+a_k+1=2（k+1）-a_k+1，
因此a_k+1=

1

2

[2（k+1）-S_k]=k+1-

1

2

（2k-

2k-1

2k-1

）=

2k+1-1

2(k+1)-1

，
∴当n=k+1时也成立，
∴a_n=

2n-1

2n-1

．
由（1）（2）可知，a_n=

2n-1

2n-1

．

点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．