Question

已知曲线y=ax³-bx（a≠0）上有两个不同的点A、B，且过A、B两点的切线都垂直于直线AB.

（1）试判断A、B两点是否关于原点对称，并说明理由.

（2）求出a、b所满足的条件.

Answer 1

解：（1）由y=ax³-bx,得y′=3ax²-b.?

设A、B两点坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁≠x₂）.??

由题意,过A、B两点的切线平行，

∴3ax₁²-b=3ax₂²-b，即x₁²=x₂²，由于x₁≠x₂,∴x₁=-x₂.?

又∵y₁=ax₁³-bx₁=-ax₂³+bx₂=-（ax₂³-bx₂）=-y₂.?

∴A、B两点关于原点对称.

（2）由（1）知,直线AB必过原点,?

∴直线AB的斜率k==ax₁²-b.而过A的切线与直线AB垂直.

∴（3ax₁²-b）·（ax₁²-b）=-1,即3a²x₁⁴-4abx₁²+b²+1=0.?

令x₁²=t,则关于t的方程3a²t²-4abt+b²+1=0在（0,+∞）上有根.?

此方程有两正根,其充要条件为:

4a²b²-3a²（1+b²）≥0且＞0,?

∴得ab＞0且 ｜b｜≥a＞0,b≥或a＜0,b≤-.