Question

函数f（x）=

1

3

x³+mx²+nx（m＞0）在x=1处取到极值：f′（x）的最小值为-4．
（1）求m、n的值及f（x）的单调区间；
（2）试分别求方程f（x）-c=0在区间[-4，1]上有一根；有两根时C的范围．

Answer 1

分析：（1）先由导数知识求出f′（x），然后利用配方法把二次函数f′（x）表示成顶点式，再根据g（x） 在x=1处取得极值，f′（x）的最小值为-4可列方程组求得m、n的值，代入f′（x）中，即可求得f（x）的单调区间；（2）由（1）可知函数f（x）在区间[-4，1]的图象变化情况，根据函数图象即可求得结论．

解答：解：（1）由题意得f′（x）=x²+2mx+n=（x+m）²+n-m²，
又f（x） 在x=1处取得极值，f′（x）的最小值为-4．
所以

2m+1+n=0 n-m2=-4

，解得m=1，n=-3．
所以f′（x）=x²+2x-3，
由f′（x）=x²+2x-3＞0得：x＞1或x＜-3．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（1，+∞），
由f′（x）=x²+2x-3＜0得：-3＜x＜1．
∴f（x）的单调递减区间为（-3，1）；
（2）由题意得f（x）=

1

3

x³+x²-3x，
f（-4）=

20

3

，f（-3）=9，f（1）=-

5

3

，
当方程f（x）-c=0在区间[-4，1]上有一根时，c∈[-

5

3

，

20

3

）∪{9}，
当方程f（x）-c=0在区间[-4，1]上有两根时，c∈[

20

3

，9）．

点评：此题是中档题．考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，以及函数图象的变化情况，体现了数形结合和转化的思想，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．