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精英家教网已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,BD,AC所成角为60°.且BD=a,AC=b,求四边形EFGH的面积.
分析:根据三角形的中位线定理,可证出GH∥EF且GH=EF,所以四边形EFGH是平行四边形.由AC、BD所成的角为60°,可得∠EFG=60°或120°,最后用正弦定理关于面积的公式,结合AC、BD的长度代入,即可得到四边形EFGH的面积.
解答:解:∵△ABC中,E、F分别为AB、BC的中点,精英家教网
∴EF∥AC且EF=
1
2
AC.
同理可得GH∥AC且GH=
1
2
AC,FG∥BD且FG=
1
2
BD
∵GH∥EF且GH=EF,∴四边形EFGH是平行四边形
∵EF∥AC,FG∥BD,AC、BD所成的角为60°
∴∠EFG=60°或120°
∵平行四边形EFGH中,EF=
1
2
AC=
1
2
a,FG=
1
2
BD=
1
2
b
∴四边形EFGH的面积S=EF•FG•sin∠EFG=
1
2
a•
1
2
b
3
2
=
3
8
ab
点评:本题给出空间四边形的对角线的长度和它们所成的角,求各边中点构成的四边形的面积,着重考查了三角形的中位线定理和异面直线所成角等知识,属于基础题.
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已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且EH∥FG.求证:EH∥BD. 

  

                                      

 

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