Question

如图，ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱.

（1）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；

（2）若二面角C₁—BD—C的大小为60°，求异面直线BC₁与AC所成角的大小.

Answer 1

（1）证明：∵ABCD—A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，∴CC₁⊥平面ABCD.

∴BD⊥CC₁.

∵ABCD是正方形,

∴BD⊥AC.

    又∵AC、CC₁平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，

∴BD⊥平面ACC₁A₁.

（2）解：如图，设BD与AC相交于O，连结C₁O.

∵CC₁⊥平面ABCD，BD⊥AC，

∴BD⊥C₁O.

∴∠C₁OC是二面角C₁—BD—C的平面角.

∴∠C₁OC=60°.连结A₁B.

∵A₁C₁∥AC，

∴∠A₁C₁B是BC₁与AC所成的角.

    设BC=a，则CO=a，CC₁=CO·tan60°=a，A₁B=BC₁=a，A₁C₁=a，

    在△A₁BC₁中，由余弦定理得cosA₁C₁B=，

∴∠A₁C₁B=arccos.

∴异面直线BC₁与AC所成角的大小为arccos.