Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　）

A．y²=4x或y²=8x

B．y²=2x或y²=8x

C．y²=4x或y²=16x

D．y²=2x或y²=16x

Answer 1

分析：根据抛物线方程算出|OF|，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．

解答：解：∵抛物线C方程为y²=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（

p

2

，0），可得|OF|=

p

2

，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
∴Rt△AOF中，|AF|=

( p 2 )2+4

=

p2+16

2

，
则sin∠OAF=

OF

AF

=

p 2

p2+16 2

=

p

p2+16

，
根据抛物线的定义，可得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，
∴Rt△AMF中，sin∠AMF=

AF

MF

=

p

p2+16

，
∵|MF|=5，|AF|=

p2+16

2

，
∴

p2+16 2

5

=

p

p2+16

，整理得p²+16=10p，
解得：p=2或p=8，
∴抛物线C的方程为y²=4x或y²=16x．
故选：C．

点评：本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．