Question

已知椭圆C：

x2

25

+

y2

9

=1，直线l与椭圆C交于A，B两不同的点．P为弦AB的中点．
（1）若直线l的斜率为

4

5

，求点P的轨迹方程．
（2）是否存在直线l，使得弦AB恰好被点(

4

3

，-

3

5

)平分？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出P，A，B的坐标，得到三点坐标的关系，把A，B的坐标代入椭圆方程后作差，代入直线l的斜率整理后即可得到答案；
（2）由题意可知，若直线l存在，则l不与坐标轴垂直，同样利用点差法，结合弦中点的坐标求出斜率，则答案可求．

解答：解：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P为弦AB的中点，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
则

x12

25

+

y12

9

=1①

x22

25

+

y22

9

=1②
②-①得，

y2-y1

x2-x1

=-

9(x1+x2)

25(y1+y2)

．
∴-

9x

25y

=

4

5

，整理得：9x+20y=0（-4＜x＜4）
∴点P的轨迹方程为：9x+20y=0（-4＜x＜4）；
（2）存在，直线l的方程为：12x-15y-25=0
假设存在直线l，使得弦AB恰好被点(

4

3

，-

3

5

)平分．
则直线l的斜率存在切部位0，设斜率为k，
由（1）得k=

y2-y1

x2-x1

=-

9(x1+x2)

25(y1+y2)

=-

9× 8 3

25×(- 6 5 )

=

12

15

．
∴直线l的方程为：y+

3

5

=

12

15

(x-

4

3

)，整理得，12x-15y-25=0．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“点差法”，涉及中点弦问题．利用点差法能起到事半功倍的作用，该题是中档题．