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    （2013•延庆县一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为
    12
    ．过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为8．过定点M（0，3）的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
    （Ⅰ） 求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
    分析：（I）利用椭圆的离心率计算公式e=
    c
    a
    及其定义即可得到a，b，c，进而即可得到椭圆的标准方程；
    （II）设直线l1的方程为y=kx+3（k＞0），与椭圆的方程联立，由直线与椭圆由两个不同的交点?△＞0，可得k的取值范围，及其根与系数的关系；
    “在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l1”．即可得到用k表示m，利用导数即可得出取值范围．
    解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，离心率e=
    c
    a
    =
    1
    2
    ，
    △ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|AF1|+|AF2|=4a=8，
    解得a=2，c=1，则b2=a2-c2=3，
    所以椭圆的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．
    （Ⅱ）直线l1的方程为y=kx+3（k＞0），
    由
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    y=kx+3
    ，消去y并整理得（3+4k2）x2+24kx+24=0（*），
    △=（24k）2-4×24×（3+4k2）＞0，解得k＞
    		6
    2
    ，
    设椭圆的弦GH的中点为N（x0，y0），
    则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l1”．
    设G（x1，y1），H（x2，y2），由韦达定理得，x1+x2=-
    24k
    3+4k2
    ，
    所以x0=
    x1+x2
    2
    =-
    12k
    3+4k2
    ，∴y0=kx0+3═
    9
    3+4k2
    ，
    ∴N(-
    12k
    3+4k2
    ，
    9
    3+4k2
    )    ，kPN=-
    9
    12k+m(3+4k2)
    ，
    所以，-
    9
    12k+m(3+4k2)
    •k=-1    ，解得m=-
    3k
    3+4k2
    (k＞
    		6
    2
    )    ．
    m′(k)=
    3(2k-
    		3
    )(2k+
    		3
    )
    (3+4k2)2
    ＞
    3(
    		6
    -
    		3
    )(2k+
    		3
    )
    (3+4k2)2
    ＞0    ，
    所以，函数m=-
    3k
    3+4k2
    (k＞
    		6
    2
    )    在定义域(
    		6
    2
    ，+∞)    单调递增，m(
    		6
    2
    )=-
    		6
    6
    ，
    所以满足条件的点P（m，0）存在，m的取值范围为(-
    		6
    6
    ，+∞)    ．
    点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、利用导数研究函数的单调性等基础知识与解题模式，需要较强的推理能力和计算能力．
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    PM2.5
    日均浓度    		 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250
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    x2
    a2
    -
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    b2
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    1
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