Question

已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）证明{S_n²}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前n项和．

Answer 1

解：（Ⅰ）令n=1，则有2a₂¹-a₂¹=1a₁=1（a₁=-1舍去）．
令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²-2a₂-1=0．
∴（舍去负值）．（3分）
（Ⅱ）∵2s_na_n-a₂ⁿ=1，①又n≥2时有a_n=s_n-s_n-1，代入①式并整理得
s₂ⁿ-s₂^n-1=1=1．
∴s₂ⁿ是首项为1，公差为1的等差数列．（6分）
∴s₂ⁿ=1+n-1=n，∴（n≥2），又a₁=1
∴．（8分）
（Ⅲ）设的前n项和为T_n．
由（Ⅱ）知
=+．
即的前n项和为．（12分）
分析：（I）令n=1，得a₁=1，令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²-2a₂-1=0．由此得．
（Ⅱ）2s_na_n-a₂ⁿ=1，n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，所以s₂ⁿ-s₂^n-1=1=1．故s₂ⁿ是首项为1，公差为1的等差数列．由此能求出求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）设的前n项和为T_n．，再由一裂项求和法能求出其结果．
点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．