Question

（2013•未央区三模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．
（1）求直线ON的斜率k_ON；
（2）对于椭圆C上的任意一点M，设

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ∈R，μ∈R），求证：λ²+μ²=1．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率，化简椭圆的方程，设出AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，中点坐标公式及斜率公式，即可求斜率；
（2）确定坐标之间的关系，利用M，A，B在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论．

解答：（1）解：设椭圆的焦距为2c，
因为

c

a

=

6

3

，所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．
从而椭圆C的方程可化为x²+3y²=3b²                                        ①
∴右焦点F的坐标为（

2

b，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y=x-

2

b．②
由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0．③
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），由③及韦达定理有：x0=

3 2

4

b，y0=x0-

2

b=-

2

4

b
所以kON=

y0

x0

=-

1

3

，即为所求．…（6分）
（2）证明：显然

OA

与

OB

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，有且只有一对实数λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．
设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），
故x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．…（8分）
又因为点M在椭圆C上，所以有(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2
整理可得：λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④
由③有：x1+x2=

3 2

2

b，x1x2=

3

4

b2．
所以x₁x₂+3y₁y₂=3b²-9b²+6b²=0   ⑤
又点A，B在椭圆C上，故有x12+3y12=x22+3y22=3b²．⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．