Question

已知⊙O：x²+y²=a²，A（-a，0），B（a，0），P₁、P₂是⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP₁与直线BP₂的交点P的轨迹方程为（　　）

• A、x²+y²=2a²
• B、x²+y²=4a²
• C、x²-y²=4a²
• D、x²-y²=a²

Answer 1

分析：求出直线AP₁与直线BP₂的方程，将两方程联立解出其交点P的坐标满足的方程即可．

解答：解：设P₁（x₀，y₀），则P₂（x₀，-y₀），则直线AP₁的方程为：y=

y0

x0+a

（x+a）      ①
直线BP₂的方程为：y=

y0

a-x0

（x-a）      ②
①×②得
y²=

y02

a2-x02

（x²-a²）    ③
又∵P₁（x₀，y₀）在圆上，
∴x₀²+y₀²=a²即a²-x₀²=y₀²
所以③式可化为：y²=（x²-a²）=x²-a²
即x²-y²=a²，这就是P点的轨迹方程．
故应选D．

点评：本题考查求两直线交点的轨迹方程，在设出两个直线的方程联立求交点满足的方程时，用两式相乘的方法构造出可以整体消元得到点P的坐标满足方程的形式，消元的技巧较强，答题者应细心体会．