Question

【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验669人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.

方案一：将每个人的血分别化验，这时需要验669次.

方案二：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这时该组个人的血总共需要化验次.

假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.

（1）设方案二中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列.

（2）设，试比较方案二中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案一，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）

Answer 1

【答案】（1）分布列见解析；（2），462次；，404次；，397次；272次

【解析】

（1）由题得，，分别求出对应的概率即得的分布列；

（2）先求出，再分别求出分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，即得相比方案一，化验次数最多可以平均减少的次数.

（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.

所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.

依题意可知，，

所以的分布列为：

（2）方案二中，结合(1)知每个人的平均化验次数为

，

所以当时，，

此时669人需要化验的总次数为462次；

当时，，

此时669人需要化验的总次数为404次；

当时，，

此时669人需要化验的总次数为397次.

即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，

而采用方案一则需化验669次.

故在这三种分组情况下，

相比方案一，当时化验次数最多可以平均减少（次）